Protocole de construction des rectangles

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que   \(a .
On considère une fonction $f$ strictement croissante et positive sur $[a;b]$ .
Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On cherche à calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe  $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations  $x=a$  et  $x=b$ .

Méthode

• Première étape : subdivision de l'intervalle
  

Soit $n$ et $h$ deux entiers strictement positifs.
On divise l'intervalle   $[a;b]$ en $n$ intervalles de longueur égale $h$ .
On dit que $n$ est le nombre de subdivisions de l'intervalle $[a;b]$ .
Le nombre $h$ est appelé pas de subdivision. On a donc $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$ .
Par exemple, l'intervalle $[1;4]$ est de longueur  $3$ (car $$ $4-1=3$ ).
Si $n=3$ alors  $h=1$ .

• Seconde étape : construction des rectangles inférieurs
  

On pose $x_0=a$ et $x_n=b$ .
On considère les points ${\text{A}}_0$ de coordonnées $(x_0;f(x_0))$ , ${\text{B}}_0$ de coordonnées $(x_0;0)$ , ${\text{B}}_1$ de coordonnées $(x_0+h;0)$ et ${\text{C}}_0$ de coordonnées $(x_0+h;f(x_0))$ .
On s'intéresse au rectangle ${\text{A}}_0{\text{B}}_0{\text{B}}_1{\text{C}}_0$ .
Son aire, en unités d'aire, est ${\text{A}}_0{\text{B}}_0\times {\text{B}}_0{\text{B}}_1=f(x_0)\times h$ .

Soit ${\text{A}}_1$ le point de $\mathcal{C}$ de même abscisse que ${\text{B}}_1$  (et ${\text{C}}_0$ ).
On a donc ${\text{A}}_1(x_0+h;f(x_0+h))$ .
On construit, selon le même procédé, le rectangle ${\text{A}}_1{\text{B}}_1{\text{B}}_2{\text{C}}_1$ .
Son aire, en unité d'aire, est ${\text{A}}_1{\text{B}}_1\times {\text{B}}_1{\text{B}}_2=f(x_0+h)\times h$ .
De la même manière, l'aire du rectangle suivant est : $f(x_0+2h)\times h$ .
On réitère ainsi le processus $n$ fois.
En sommant les aires des $n$ rectangles obtenus, on obtient une approximation de l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ par valeurs inférieures.